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Derivazione parziale di una funzione composta
(http://www.extrabyte.info/2009/08/20/esercizi…)E' assegnata una funzione F[u(x,y),v(x,y)], cioe' una funzione composta di componenti interne u(x,y),v(x,y). Vediamo come calcolare le derivate parziali seconde rispetto a x,y
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extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa) 
Derivata totale
(http://www.extrabyte.info/2009/08/17/esercizi…)Si parla di derivazione totale di una funzione di piu' variabili, quando si ha una dipendenza funzionale del tipo f[x,y(x),z(x)], quindi si calcola la derivata rispetto alla variabile x, che e' appunto la "derivata totale". Il calcolo si svolge applicando le usuali regole di derivazione.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Angolo tra gradienti
(http://www.extrabyte.info/2009/08/16/esercizi…)E' data una funzione reale di due variabili reali f(x,y). Ci proponiamo di determinare l'angolo tra i vettori gradiente di f nei punti P e Q di cui sono note le coordinate cartesiane.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Derivata secondo la bisettrice del I e III quadrante
(http://www.extrabyte.info/2009/08/16/esercizi…)E' data una funzione reale di due variabili reali f(x,y). Ci proponiamo di determinare la derivata di tale funzione secondo la direzione della bisettrice del I e III quadrante, orientata nel verso delle ascisse crescenti.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Ricerca dei punti stazionari
(http://www.extrabyte.info/2009/08/15/esercizi…)Un punto stazionario di una funzione di piu' variabili parzialmente derivabile definita su un insieme aperto di R^n, e' un punto P in cui si annulla la derivata direzionale, per ogni direzione uscente da P. Vediamo un esempio numerico di ricerca di un punto stazionario.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Dimostriamo la proprieta' di invarianza del differenziale totale
(http://www.extrabyte.info/2009/08/15/esercizi…)La proprieta' di invarianza del differenziale totale esprime la conservazione dell'espressione formale del differenziale totale quando si passa da (x1,x2,...xn) variabili dipendenti al caso in cui quando (x1,x2,...xn) sono funzioni di altre variabili
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Funzione composta di due variabili
(http://www.extrabyte.info/2009/08/14/esercizi…)E' data una funzione reale della variabile reale u. Quest'ultima dipende dalle variabili reali x,y. Quindi abbiamo la funzione composta f[u(x,y)]. Determianiamo le derivate parziali di f rispetto a x,y.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Isotropia
(http://www.extrabyte.info/2009/08/13/esercizi…)Consideriamo una grandezza fisica u il cui valore dipende dalla somma dei quadrati delle coordinate cartesiane nello spazio euclideo R^3. Mostriamo che tale grandezza e' isotropa, cioe' non dipende dalla direzione (per mostrarlo, basta...
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Invarianza del differenziale totale
(http://www.extrabyte.info/2009/08/12/esercizi…)Data una funzione di piu' variabili f(x1,x2,...,xn) il differenziale totale della funzione assume la medesima forma sia se x1,x2,...,xn sono variabili indipendenti, sia se x1,x2,...,xn sono funzioni di altre variabili (in modo da dar orgine ad una funzione composta).
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Calcolo del differenziale totale
(http://www.extrabyte.info/2009/08/12/esercizi…)E' assegnata una funzione reale di due variabili reali, f(x,y). Determiniamo prima l'incremento e dopo il differenziale, mostrando che l'incremento differesce dal df per un infinitesimo di ordine superiore rispetto a rho (modulo del vettore di componenti pari agli incrementi di x e y)
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Determinante Jacobiano
(http://www.extrabyte.info/2009/08/11/esercizi…)Assegnate le equazioni di trasformazione che connettono le coordinate cartesiane (x,y) nel piano alle coordinate polari (r,phi), deteminiamo "lo Jacobiano della trasformazione", che in questo caso e' il deteminante di una matrice quadrata di ordine 2.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Calcolo delle derivate miste
(http://www.extrabyte.info/2009/08/11/esercizi…)Assegnata una funzione f(x,y) mostriamo il procedimento di calcolo della derivata parziale mista f_xy. Si tratta di calcolare la derivata parziale f_x, quindi l'espressione ottenuta va derivata rispetto alla variabile y.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Funzione che esplode in singolarita' sull'asse x
(http://www.extrabyte.info/2009/08/10/esercizi…)La funzione f(x,y)=sqrt(x*y+x/y) e' definita dall'unione dei campi illimitati rappresentati dal I e dal III quadrante. Inoltre diverge positivamente su l'asse x, e non ammette limite per (x,y)->(0,0), come si vede passando a coordinate polari.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Famiglia di curve di livello
(http://www.extrabyte.info/2009/08/09/esercizi…)E' data la funzione e' f(x,y)=x^y. Dimostriamo che la famiglia di curve di livello di f(x,y) e' composta da curve la cui espressione analitica e' data a meno di una costante moltiplicativa - dalla reciproca della funzione logaritmica.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Singolarita' del logaritmo in due variabili
(http://www.extrabyte.info/2009/08/09/esercizi…)La funzione e' f(x,y)=ln[x+sqrt(x^2+y^2)]. Per dimostrare che (0,0) e' una singolarita', e' preferibile passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari (r,phi). In tal modo l'espressione di f si decompone nella somma di una componente radiale e di una angolare.
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Derivate parziali
(http://www.extrabyte.info/2009/08/08/esercizi…)Illutriamo con un esempio come calcolare le derivate parziali di una funzione reale di due variabili reali. Il procedimento e' estremamente semplice. Ad esempio, se si vuole la derivata parziale rispetto a x, basta "congelare" la variabile y (cioe' trattarla come una costante)
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Funzione dipendente dalla sola variabile radiale
(http://www.extrabyte.info/2009/08/08/esercizi…)E' data la funzione f(x,y)=f(sqrt(x^2+y^2)). Passando a coordinate polari nel piano, risulta f(x,y)=f(r), essendo r il raggio vettore (coordinata radiale). Quindi le curve di livello sono circonferenze concentriche centrate nell'origine.
0 commenti –extrabyte (in Varie, 2 anni e 9 mesi fa)
Curve di livello
(http://www.extrabyte.info/2009/08/07/esercizi…)Data la superficie di equazione z=f(x,y), le "curve di livello" sono i luoghi geometrici dati dall'intersezione di tale superfici con piani paralleli al piano coordinato xy. Determiniamo tali curve nel caso z=2x/(x^2+y^2)
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Convergenza di un integrale
(http://www.extrabyte.info/2009/08/06/esercizi…)E' dato l'integrale di f(x)=1/[x^3sqrt(4x^2-1)] nell'intervallo illimitato A=[1/2,+oo). Quindi la funzione presenta una singolarità in x=1/2. Per esaminare la sommabilita' di f occorre valutare l'ordine di infinito in x=1/2, oltre al comportamento all'infinito.
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Cono di secondo grado
(http://www.extrabyte.info/2009/08/06/esercizi…)L'equazione del cono di secondo grado e' z=sqrt(xy), ed e' il grafico della funzione f(x,y)=sqrt(xy). Mostriamo che le sue curve di livello sono iperboli equilatere (y=C/x)
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